2019上海高考理科数学试卷真题试卷答案解析【word文字版下载】

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上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．

{3,4} 【解析】∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．

2．（2017年上海）若排列数Am

6=6×5×4，则m= ．

2.3 【解析】∵排列数Am

6=6×5×…×(6-m+1)，∴6-m+1=4，即m=3.

3．（2017年上海）不等式x-1x

＞1的解集为 ．

3.(-∞，0) 【解析】由x-1x＞1，得1-1x>1，则1

x<0，解得x<0，即原不等式的解集为(-∞，0).

4.（2017年上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．

4.9π 【解析】设球的半径为R，则由球的体积为36π，可得4

3πR3=36π，解得R=3.该球的主

视图是半径为3的圆，其面积为πR2=9π．

5．（2017年上海）已知复数z满足z+3

z

=0，则|z|= ．

5.3 【解析】由z+3

z=0，可得z2+3=0，即z2=-3，则z=±3i，|z|=3.

6．（2017年上海）设双曲线x29-y2

b2=1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，

则|PF2|= ．

6.11 【解析】双曲线x29-y2

b2=1中，a=9=3，由双曲线的定义，可得||PF1|-|PF2||=6，又|PF1|=5，

解得|PF2|=11或?1（舍去），故|PF2|=11. 7．（2017年上海）如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量→DB1的坐标为（4，3，2），则向量→AC1的坐标是 ．

7.(-4,3,2) 【解析】由→DB1

的坐标为（4，3，2），可得A（4，0，0），C(0,3,2)，D1(0,0,2)

则C1（0，3，2），∴→AC1=（?4，3，2）．

8.（2017年上海）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f?1

（x），若g（x）=

3x-1，x≤0，

f(x)，x>0

为奇函数，则f-1（x）=2的解为 ．

8.8

9 【解析】g（x）=3x-1，x≤0，f(x)，x>0

为奇函数，可得当x＞0时，?x＜0，即有g(x)=-g（?x）=-(3-x-1)=1-3-x，则f(x)=1-3-x.由f-1（x）=2，可得x=f(2)=1-3-2=89，即f-1（x）=2的解为89.

9．（2017年上海）已知四个函数：①y=-x，②y=-1x

，③y=x3

，④y=x1

2，从中任选2个，则事

件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．

9.12

【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C2

4=6，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2个，∴事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p=26=1

3

.

10．（2017年上海）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，则lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)

=

10.2 【解析】∵an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn

项，∴ban=abn=b2n.∴b1=b12，b4=b22，b9=b32，b16=b42.∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2，lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)

=2.

11．（2017年上海）设α1，α2∈R且12+sin α1+1

2+sin 2α2=2，则|10π-α1-α2|的最小值等于 ．

11.π4 【解析】由-1≤sin α1≤1，可得1≤2+sin α1≤3，则13≤12+sin α1≤1.同理可得13≤12+sin 2α2≤1.要使12+sin α1+12+sin 2α2=2，则12+sin α1=12+sin 2α2=1，即sin α1=sin 2α2=-1.所以α1=2k1π-π2，

2α2=2k2π-π2，k1,k2∈Z.所以|10π-α1-α2|=|10π-(2k1π-π2)-(k2π-π4)|=|10π+3π

4-(2k1+k2)π|，

当2k1+k2=11时，|10π-α1-α2|取得最小值π

4

.

12．（2017年上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧．用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和．若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为 ．

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12.P1,P3,P4 【解析】设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示，四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，则经过点P2的所有直线都是符合条件的直线lP.因此经过点P2的符合条件的直线lP有无数条；经过点P1,P3,P4的符合条件的直线lP各有1条，即直线P2P1,P2P3,P2P4.故Ω中所有这样的P为P1,P3.P4.

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（2017年上海）关于x，y的二元一次方程组x+5y=0，

2x+3y=4

的系数行列式D为( )

A.0 54 3 B.

1 02 4 C.

1 52 3 D.

6 05 4

13.C 【解析】关于x，y的二元一次方程组x+5y=0，

2x+3y=4

的系数行列式D=

．故选C．

14．（2017年上海）在数列{an}中，an=（-1

2）n，n∈N*，则limn→∞ an（ ）

A.等于-12 B.等于0 C.等于1

2

D.不存在

14.B 【解析】数列{an}中，an=（-12）n，n∈N*，则limn→∞an=limn

→∞

(-12)n

=0．故选B．

15.（2017年上海）已知a,b,c为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列”的一个必要条件是（ ） A.a≥0 B.b≤0 C.c=0 D.a-2b+c=0

15.A 【解析】存在k∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化简得a=0，∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选A．

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16．（2017年上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x236+y24=1和C2：x2+y2

9

=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是→OP?→OQ的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上且→OP?→OQ=w}，则Ω中的元素有（ ） A.2个

B.4个

C.8个

D.无穷个

16.D 【解析】P为椭圆C1：x236+y24=1上的动点，Q为C2：x2+y2

9

=1上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），α，β∈[0,2π],则→OP?→OQ=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β），当α-β=2kπ，k∈Z时，→OP?→OQ取得最大值w=6，即使得→OP?→OQ=w的点对(P,Q)有无穷多对，Ω中的元素有无穷个.

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（2017年上海）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5． （1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．

17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形， 两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．

∴三棱柱ABC?A1B1C1的体积V=S△ABC?AA1=12AB?AC?AA1=1

2×4×2×5=20.（2）连接

AM.

∵直三棱柱ABC-A1B1C1， ∴AA1⊥底面ABC.

∴∠AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.

∵△ABC是直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，点M是BC的中点， ∴AM=12BC=1

2

×42+22=5.

由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥AM,

∴tan∠A1MA=AA1AM=5

5

=5.

∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan5

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18．（2017年上海）已知函数f（x）=cos2x?sin2x+1

2，x∈（0，π）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=19，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．

18.【解析】（1）函数f（x）=cos2x-sin2x+12=cos 2x+1

2，x∈（0，π）.

由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ?π

2

≤x≤kπ，k∈Z. k=1时，π

2

≤x≤π，

可得f（x）的增区间为[π

2，π）.

（2）f（A）=0，即有cos2A+1

2=0，

解得2A=2kπ±2π

3.

又A为锐角,故A=π

3.

又a=19,b=5，

由正弦定理得sinB=bsinAa=55738,则cosB=19

38.

所以sinC=sin(A+B)=

32×1938+12×55738=35738

. 所以S△ABC=12absinC=12×19×5×35738=153

4

.

19．（2017年上海）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为

an和bn（单位：辆），其中an=5n4+15，1≤n≤3，

-10n+470，n≥4，

bn=n+5，第n个月底的共享单车的保有量

是前n个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=-4（n?46）2+8800（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 19.【解析】（1）前4个月共享单车的累计投放量为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965， 前4个月共享单车的累计损失量为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30， ∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965?30=935． （2）令an≥bn，显然n≤3时恒成立，

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当n≥4时，有?10n+470≥n+5，解得n≤465

11

，

∴第42个月底，保有量达到最大．

当n≥4，{an}为公差为?10等差数列，而{bn}为公差为1的等差数列，

∴到第42个月底，共享单车保有量为a4+a422×39+535-b1+b422×42=430+502×39+535-6+47

2×

42=8782．

又S42=?4×(42-46)2+8800=8736， 8782＞8736，

∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．

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当n≥4时，有?10n+470≥n+5，解得n≤465

11

，

∴第42个月底，保有量达到最大．

当n≥4，{an}为公差为?10等差数列，而{bn}为公差为1的等差数列，

∴到第42个月底，共享单车保有量为a4+a422×39+535-b1+b422×42=430+502×39+535-6+47

2×

42=8782．

又S42=?4×(42-46)2+8800=8736， 8782＞8736，

∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．

20．（2017年上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：x24+y2

=1，A为Γ的上顶点，P

为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点． （1）若P在第一象限且|OP|=2，求P的坐标；

（2）设P（85,3

5

），若以A,P,M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C且→AQ=2→AC，→PQ=4→PM，求直线AQ的方程． 20.【解析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），

由点P在椭圆Γ：x2

4+y2

=1上且|OP|=2,可得x2

4+y2=1，x2+y2

=2，

解得x2=43,y2=23，则P（233，6

3）．

（2）设M（x0，0），A（0，1），P（85，3

5

）.

若∠P=90°，则→PA•→PM=0，即（-85，25）•（x0?85，?35）=0， ∴（?85）x0+6425-625=0，解得x0=29

20

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若∠M=90°，则→MA•→MP=0，即（?x0

，1）•（85?x0，35）=0， ∴x02-8

5x0+35

=0，解得x0=1或x0=35.

若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意． ∴点M的横坐标为2920或1或3

5

．

（3）设C（2cosα，sinα）， ∵→AQ=2→AC，A（0，1），

∴Q（4cosα，2sinα?1）.

又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），

∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ?x0）2+（sinβ）2， 整理得x0=3

4

cosβ.

∵→PQ=（4cosα?2cosβ，2sinα?sinβ?1），→PM=（-54cosβ，?sinβ），→PQ=4→PM

， ∴4cosα?2cosβ=?5cosβ，2sinα?sinβ?1=?4sinβ. ∴cosβ=?43cosα，sinβ=1

3

（1?2sinα）.

以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα?2=0， ∴sinα=2

3

或sinα=?1（舍去）.

此时，直线AC的斜率kAC=sinα-12cosα=5

10（负值已舍去），如图．

∴直线AQ的方程为为y=

5

10

x+1．

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21．（2017年上海）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．

（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；

（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；

（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”． 21.【解析】（1）由f（x1）≤f（x2），得f（x1）?f（x2）=a（x13?x23）≤0， ∵x1＜x2，∴x13?x23＜0，得a≥0． 故a的取值范围是[0，+∞）.

（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有 f（x0）=f（x0+Tk）.

由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk）， ∴f（x0）=f（x）=f（x0+Tk）． 又∵f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，并且

…∪[x0?3Tk，x0?2Tk]∪[x0?2Tk，x0?Tk]∪[x0?Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，

∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数.

（3）证明：(充分性)若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为Tg，则h（x）=c1•g（x），对任意x0∈R，h（x0+Tg）=c1•g（x0+Tg）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数.

(必要性)若h（x）是周期函数，记其一个周期为Th．

若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知， x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1Tk＞x1，